உறவுகளும் சார்புகளும் Ex 1.1-10th Std Maths-Book Back Question And Answer
கேள்வி 1.
பின்வருவனவற்றிற்கு A × B, A × A மற்றும் B × A ஐக் காண்க.
i) A = {2, -2, 3} மற்றும் B = {1, -4}
ii) A = B = {p, q}
iii) A = {m, n}; B = Φ
தீர்வு:
i) A= {2, -2, 3} மற்றும் B = {1, -4}
A × B = {2, -2, 3} × {1,-4}
= {(2, 1), (2, -4), (-2, 1), (-2, -4), (3, 1), (3, -4)}
A × A = {2, -2, 3} × {2, -2, 3}
= {(2, 2), (2, -2), (2, 3), (-2, 2), (-2, -2), (-2, 3), (3, 2), (3, -2), (3, 3)}
B × A = {1, -4} × {2, -2, 3}
= {(1, 2), (1, -2), (1, 3), (-4, 2), (-4, -2), (-4, 3)}
குறிப்பு : இங்கே A × A = A × B = B × A
ஏனெனில் A மற்றும் B என்ற
கணங்களின் உறுப்புகள் சமம்.
ii) A = B = {p, q}|
A × B = {p, q} × {p, q}
= {(p, p), (p, q), (q, p), (q, q)}
A × A = {p, q} × {p, q}
= {(p, p), (p, q), (q, p), (q, q)}
B × A = {p, q} × {p, q}
= {(p,p), (p, q), (q p), (q, q)}
iii) A = {m, n}; B = Φ
A × B = {}
A × A = {m, n} × {m, n}
= {(m, m), (m, n), (n, m), (n, n)}
B × A = {}
குறிப்பு :
A × B = Φ எனில்
A = Φ அல்லது B =Φ
கேள்வி 2.
A = {1, 2, 3} மற்றும் B = {x|x என்பது 10-ஐ விடத் சிறிய பகா எண்).எனில், A × B மற்றும் B × A
ஆகியவற்றைக் காண்க.
தீர்வு:
A = {1, 2, 3} ; B = {2, 3, 5, 7} என்க
A × B = {(1, 2), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 2), (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 2), (3, 3), (3, 5), (3, 7)}
B × A= {2, 3, 5, 7} × {1, 2, 3}
= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (7, 1), (7, 2), (7, 3)}
கேள்வி 3.
B × A = {(-2, 3) (-2, 4) (0, 3) (0, 4) (3, 3) (3, 4)} எனில், A மற்றும் B ஐ காண்க
தீர்வு:
B = {B × A ல் உள்ள × அச்சுத் தூரங்களின் கணம்}
∴ B = {(-2, 0, 3)}
A = (B× Aல் உள்ள y அச்சுத் தூரங்களின் கணம்)
∴ A = {3, 4}
கேள்வி 4.
A = {5, 6}, B = {4, 5, 6), C = {5,6,7} எனில், A × A = (B × B) ∩ (C × C) எனக் காட்டுக.
தீர்வு:
L.H.S = A × A
= {5,6} × {5,6}
A × A = {(5, 5) (5, 6) (6, 5) (6, 6)} ………………(1)
RHS = (B × B) ∩ (C × C)
B × B = {4, 5, 6} x {4, 5, 6}
= {(4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6,4) (6, 5) (6, 6)}
C × C = {5,6,7} × {5,6,7}
= {(5, 5) (5, 6) (5, 7) (6, 5) (6, 6) (6, 7) (7, 5) (7, 6) (7, 7)}
(B X B) ∩(Cx C) = {(5, 5) (5, 6) (6, 5) (6, 6)} …………………….(2)
(1) = (2)
A × A = (B × B) ) (C × C)
கேள்வி 5.
A = {1, 2, 3} , B = {2, 3, 5} C = {3, 4} மற்றும் D = {1, 3, 5} எனில் (A ∩ C) × (B ∩ D)
= (A × B) ∩( C × D) என்பது உண்மையா என சோதிக்கவும்.
தீர்வு:
L.H.S (A ∩ C) × (B ∩ D)
A∩C= {1, 2, 3} ∩ {3, 4}
= {3}
B ∩ D = {2, 3, 5} ∩ {1, 3, 5}
= {3, 5}
(A∩C) × (B∩D) = {3} × {3, 5}
= {(3,3) (3, 5) ……………..(1)
R.H.S (A × B) ∩ (C × D)
A × B = {1, 2, 3} × {2, 3, 5}
= {(1, 2) (1, 3) (1, 5) (2, 2) (2, 3) (2, 5) (3, 2) (3, 3) (3, 5)}
C × D = { (3, 4)} × {(1, 3, 5)}
= {(3, 1) (3, 3) (3, 5) (4, 1) (4, 3) (4, 5)}
(A × B) ∩ (C × D) = { (3, 3) (3, 5) }
(1) = (2)
(A∩C) × (B∩D) = (A × B) ∩ (COD) என்பது உண்மை
கேள்வி 6.
A = {x ∈ W/x < 2}, B = {x ∈ N/1 < x ≤ 4} மற்றும் c = {3, 5} எனில் கீழேக் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடுகளைச் சரி பார்க்க.
i) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
குறிப்பு
A = {0, 1}
B = {2, 3, 4}
ii) A × (B ∪ C) = (A × B) ∩ (A × C)
iii) (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)
தீர்வு:
i) L.H.S = A × (B∪C)
B ∪ C = {2, 3, 4} ∪ {3, 5}
= {2, 3, 4, 5}
A× (B ∪ C) = {0, 1} × {2, 3, 4, 5}
= {(0, 2) (0, 3) (0, 4) (0, 5) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5)} ………………… (1)
RHS = (A × B) ∪ (A × C)
A × B = {0, 1} × {2,3,4}
= {(0, 2) (0, 3) (0, 4) (1, 2) (1, 3) (1, 4)}
A × C = {0, 1} {3,5}
= {(0,3), (0,5) (1, 3) (1,5)}
(A × B) ∪ (A × C) = {(0, 2) (0, 3) (0,4) (0,5) (1, 2) (1,3) (1,4) (1,5)} ………………….. (2)
∴ L.H.S = R.H.S
ii) A × (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
L.H.S = A × (B ∩ C)
B ∩ C = {2,3,4} , {3,5}
= {3}
A × (B C) = {0, 1} {3}
= {(0,3) (1, 3) } …………………… (1)
R.H.S = (A × B) ∩ (A × C)
A × B = {0, 1} x {2,3,4}
= {(0, 2) (0,3) (0, 4) (1, 2) (1, 3) (1,4)}
A × C = {0, 1} R {3,5}
= {(0, 3) (0,5) (1, 3) (1,5)}
(A × B) ∩ (A × C) = {(0, 3) (1,3)} …………….. (1)
∴ L.H.S = R.H.S
iii) (A∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)
L.H.S = (A ∪ B) × C
A ∪ B = {0, 1} ∪ {2,3,4}
= {0, 1, 2, 3,4}
(A ∪ B) × C = {0, 1, 2, 3, 4} * {3,5}
= {(0, 3) (0,5) (1, 3) (1,5) (2, 3) (2,5) (3,3) (3,5) (4, 3) (4,5)} ……………….. (1)
R.H.S = (A × C) ∪ (B × C)
(A × C) = {(0, 1) × (3,5)}
= {(0, 3) (0,5) (1, 3) (1,5)}
B × C = {2,3,4} × {3,5}
= {(2,3) (2,5) (3,3) (3,5) (4,3) (4,5)}
(A × C) ∪ (B × C) = {(0, 3) (0,5) (1,3) (1,5) (2, 3) (2,5) (3, 3) (3,5) (4, 3) (4,5)} ………………. (2)
∴ L.H.S = R.H.S
கேள்வி 7.
A என்பது 8 – ஐ விடக் குறைவான இயல் எண்களின் கணம், B என்பது 8-ஐ விடக் குறைவான
பகா எண்களின் கணம் மற்றும் C என்பது இரட்டைப்படை பகா எண்களின் கணம் எனில் கீழ்க்கண்டவற்றைச் சரிபார்க்க.
i) (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C)
ii) A × (B – C)= (A × B) – (A × C)
தீர்வு:
கணக்கின் படி A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
B = {2, 3, 5, 7}
C = {2}
i) LHS = (A ∩ B) × C
A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6,7} {2,3,5,7}
= {2, 3, 5, 7}
(A ∩ B) × C = {2, 3, 5, 7} × {2}
= {(2, 2) (3, 2) (5, 2) (7, 2) …………….. (1)
R.H.S = (A × C) (B × C)
A × C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} × {2}
= {(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2) (7, 2)}
B × C = {2, 3, 5, 7} × {2}
={(2, 2) (3, 2) (5, 2) (7, 2)}
(A × C) B × C = {(2, 2) (3, 2) (5, 2) (7, 2)
L.H.S = R.H.S
ii) L.H.S = A × (B – C)
B – C = {2, 3,5,7} – {2}
= {3, 5, 7}
A × (B – C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} × {3, 5, 7}
= {(1, 3) (1, 5) (1, 7) (2, 3) (2, 5) (2, 7) (3, 3) (3, 5) (3, 7) (4, 3) (4, 5) (4, 7
(5, 3) (5, 5) (5, 7) (6, 3) (6, 5) (6, 7) (7, 3) (7, 5) (7, 7)} ……………….(1)
R.H.S = (A × B) – (A × C)
(A × B) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} × {2, 3, 5, 7}
= {(1, 2) (1, 3) (1, 5) (1, 7) (2, 2) (2, 3) (2, 5) (2, 7) (3, 2) (3,3) (3, 5) (3, 7) (4, 2) (4, 3) (4, 5) (4, 7) (5, 2) (5, 3) (5, 5) (5, 7) (6, 2) (6, 3) (6, 5) (6, 7) (7, 2) (7, 3) (7, 5) (7, 7)}
A × C = {1, 2, 3, 4, 5, 6,7} x {2}
= {(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2) (7, 2)}
(A × B) – (A × C))
={(1, 3) (1, 5) (1, 7) (2, 3) (2, 5) (2, 7) (3, 3) (3, 5) (3, 7) (4, 3) (4, 5) (4, 7) (5, 3) (5, 5) (5, 7) (6, 3) (6, 5) (6, 7) (7, 3) (7, 5) (7, 7)} ……………… (2)
L.H.S = R.H.S (1 மற்றும் 2 லிருந்து)
