உறவுகளும் சார்புகளும் Ex 1.5-10th Std Maths-Book Back Question And Answer
கேள்வி 1.
கீழேக் கொடுக்கப்பட்டுள்ள f மற்றும் g எனும் சார்புகளைப் பயன்படுத்தி fog மற்றும் gof – ஐக் காண்க fog = gof என்பது சரியா சோதிக்க.
i) f(x) = x – 6, g(x) = x2
ii) f(x) = 2x = g(x) = 2x2 – 1
ii) f(x) = x+63 g(x) = 3 – x
iv) f(x) = 3 + x, g(x) = x – 4
v) f(x) = 4x2 – 1, g(x) = 1 + x
தீர்வு :
i) f(x) = x-6, g(x) = x2 [∵ f(x) = x -6]
fog(x) = f(g(x)) = f(x2)
= x2 – 6
gof(x) =g[f(x)) = g(x-6)
= (x-6)2
∴ fog ≠ gof
ii) f(x) = 2x g(x) = 2x2 – 1
fog(x) = f(g(x)) = f(2x2 – 1)
= 22x2−1
gof (x) = g(f(x)) = g(2x)
= 2( 2x )2 – 1
= 2 x 4x2 – 1
= 8x2 – 1
∴ fog ≠ gof
iii) f(x) = x+63, g(x) = 3 – x
fog(x) = f(g(x)) = f(3-x)
iv) f(x) = 3 + x; g(x) = x – 4
fog(x) = f(g(x)) = f(x-4)
= 3 + x -4
= x -1
gof(x) = g(f(x)) = g(3 + x)
= 3 + x – 4
= x – 1
எனவே fog = gof
v) f(x) = 4x2 – 1, g(x) = 1 + x
fog(x) = f(g)(x)) = f(1 + x)
= 4(1 + x)2 – 1
= 4(1 + 2x + x2) – 1
= 4 + 8x + 4x2 – 1
= 4x2 + 8x + 3
gof(x) = g(f(x)) = g(4x2 – 1)
= 1 + 4x2 – 1
= 4x2
எனவே fog ≠ gof
கேள்வி 2.
fog = gof எனில் K – யின் மதிப்பைக் காண்க
i) f(x) = 3x + 2, g(x) = 6x – K
ii) f(x) = 2x – K, g(x) = 4x + 5
தீர்வு :
i) f(x) = 3x + 2
g(x) = 6x – K
fog = gof (தர்வு)
fog(x) = gof(x)
f(g(x) = g(f(x))
f(6x – k) = g(3x + 2)
3(6.x – k) + 2 = 6(3.x + 2) – k
18x-3k + 2 = 18.x + 12 – k
2k = -10
k =-5
ii) f(x) = 2x-k, g(x) = 41 + 5
தரவு fog = gof
fog(x) = gof(x)
f(g)(x) = g(f(x)
f(4x + 5) = g(2x-k)
2(4x + 5) -k = 4(2x – k) + 5
8x + 10 – k = 8x -4k + 5
3k = -5
k = -5/3
கேள்வி 3.
f(x) = 2x -1; g(x) = x+12 எனில், fog = gof = x எனக் காட்டுக.
தீர்வு :
fog (x) = f(g(x)))
= f( x+12 )
= 2(x+12)−1
= x + 1 -1
= x gof = gof(x)
=g(f(x))
=g(2x – 1) = 2x/2
= x
எனவே fog = gof = x
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.
கேள்வி 4.
f(x) = x2 – 1, g(x) = x – 2 மற்றும் gof (a) = 1 எனில் , a ஐக் காண்க
தீர்வு :
i) f(x) = x2 – 1;
g (x) = x – 2
தரவு gof(a) =1
g(f(a)) =1
g(a2 – 1) = 1
a2 – 1 – 2 = 1
a2 – 3 = 1
a2 = 4
a = ±2
கேள்வி 5.
A, B, C ⊆ N மற்றும் f: A → B என்ற சார்பு f(x) = 2x +1 எனவும் மற்றும்g : B → C ஆனது g(x) = x2 எனவும் வரையறுக்கப்பட்டால், fog மற்றும் gof- யின் வீச்சகத்தைக் காண்க.
தீர்வு :
தரவு f(x) = 2x +1
g(x) = x2
fog = fog(x)
= f(g(x)))
= f(x2)
= 2x2 + 1
gof = gof(x)|
= g(f(x))
= g(2x + 1)
= (2x +1)2
fog மற்றும் gof ன் வீச்சகம்
{y/y = 2x2 + 1, x ∈ N }, {y/y = (2x + 1)2, x∈N}
கேள்வி 6.
f(x) = x2 – 1 எனில் i) fof ii) fofof – ஐக் காண்க
தீர்வு :
தரவு f(x) = x2 – 1
a) fof(x) = f(f(x)
= f(x2 – 1)
= (x2 – 1)2 – 1
= x4 – 2x2 + 1 – 1
=x4 -2x2
b) fofof = fofof(x)
= fof(f(x))
= fof(x2 – 1)
= f(f(x2-1))
= f[[x2 – 1)2 -1)
= f[x4 – 2x2 + 1 – 1]
= f[x4 – 2x2] ⇒ (x4 – 2x2)2 – 1
கேள்வி 7.
f: R – R மற்றும் g:R – R ஆனது முறையே,
f(x) = x5, g(x)= x4 என வரையறுக்கப்பட்டால், fg ஆகியவை ஒன்றுக்கு ஒன்றானதா மற்றும் fog ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பாகுமா என்று ஆராய்க .
தீர்வு :: f(x) = f(y)
x5 = y5
எனவே x = y
ஆகையால் f ஒரு ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பு
g(x) = g(y) எனில்
x4 = y4
ஆகையால் x = y
எனவே g ஒரு ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பு
fog = fog(x)
= f(g(x))
= f(x4)
= (x4)5
= x20
fog(x) = fog(y) எனில்
x20 = y20
∴ fog ஆனது 1 – 1 சார்பு ஆகும்.
கேள்வி 8.
கொடுக்கப்பட்ட f(x), g(x), h(x) ஆகியவற்றைக் கொண்டு (fog)oh = fo(goh) எனக் காட்டுக.
i) f(x) = x-1, g(x) = 3x + 1 மற்றும் h(x) = x2
ii) f(x) = x2 , g(x) = 2x மற்றும் h(x) = x + 4
iii) f(x) = x-4, g(x) = x2 மற்றும் h(x) = 3.x – 5
தீர்வு :
i) f(x) = x-1 g(x) = 3x + 1 h(x) = x2
fog(x) = f(g(x)) = f(3x+1)
= (3x + 1 -1)
= 3x
(fog)oh = (fog) oh (x)
= fog(h(x))
= fog(x2 )
= 3x2 ……………… (1)
goh(x) = g(h(x)) = g(x2 )
= 3x2 + 1
fo(goh) = fo(goh(x))
= f(3x2 + 1)
fo(goh)= fo(goh(x))
= f(3x2 + 1)
= 3x2 + 1 – 1
= 3x2 ……………….. (2)
(1) , (2) லிருந்து
(fog)oh = fo(goh)
ii) f(x) = x2
g(x) = 2x
h(x) = x + 4
fog(x) = f(g(x)= f(2x)
= (2x)2
= 4x2
(fog)oh = (fog) oh(x)
= fog(h(x)
= fog(x + 4)
= 4(x+4)2 =
4(x2 + 8x + 16)
= 4x2 + 32x + 64
goh = goh = (x) = g(h(x))
=g (x + 4)
= 2 (x + 4) = 2x + 8
fo (goh)= fo (goh)(x)
= fo (2x+8)
= (2x + 8)2
= 4x2 + 32x + 64 …………………… (2)
1, 2 லிருந்து
iii) (fog)oh = fo(goh).
f(x) = x – 4
g(x) = x2
h(x) = 3x – 5
fog(x) = fo(x2)
= x2 – 4
(fog)oh = (fog)oh(x)
= fog(3x – 5)
= (3x –5)2 – 4
= 9x2 – 30x + 25 -4
= 9x2 -30x + 21 …………….. (1)
goh(x) = go(3x-5)
= (3x – 5)2
= 9x2 – 30x + 25
fo(goh)x = fo(9x2 -30x + 25)
= 9x2 -30x + 25 -4
= 9x2 -30x + 21…………………(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
(fog)oh = fo(goh)
கேள்வி 9.
f = {{-1, 3), (0, -1), (2, -9)} ஆனது I -லிருந்து Z -க்கான ஒரு நேரிய சார்பு எனில், f(x) -ஐக் காண்க.
தீர்வு :
f(x) = ax + b என்க
கணக்கின்படி f(-1) = 3
a(-1) + b = 3
-a + b = 3 ……………… (1)
மேலும் f(0) = -1
o + b = -1
b = -1
b ன் மதிப்பை (1) ல் பிரதியிட a = -4
∴ f(x) = -4x – 1
கேள்வி 10.
ஒரு மின்சுற்றுக் கோட்பாட்டின் C(t) என்ற ஒரு நேரிய சுற்று, C(at1 +bt2 ) = aC(t1) +bC(t2) ஐ பூர்த்தி செய்கிறது. மேலும் இங்கு a, b ஆகியவை மாறிலிகள் எனில், C(t) = 3t ஆனது ஒரு நேரிய சுற்று எனக் காட்டுக.
தீர்வு :
கணக்கின்படி c(t) = 3t
c(at1) = 3at1 ……………. (1)
c(bt2) = 3bt2
1 + 2
c(at1) + c(bt2 ) = 3at1 + 3bt2
c(at1 + bt2 ) = 3at1 + 3bt2
= c(at1) + c(bt2)
=c(at1 + bt2)
மின்சுற்றுக்கோட்பாட்டை பூர்த்தி செய்கிறது.
∴ c(t) = 3t என்பது ஒரு நேரிய சுற்று ஆகும்
