எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் Ex 2.9-10th Std Maths-Book Back Question And Answer
கேள்வி 1.
பின்வரும் தொடர்களின் கூடுதலைக் காண்க.
(i) 1+2 + 3 +….. + 60
(ii) 3 + 6 + 9 +…..+ 96
(iii) 51+ 52 + 53 +…..+ 92
(iv) 1+ 4 + 9 +16 + +225
(v) 62 + 72 + 82 +… + 212
(vi) 103 + 113 + 123 +……. +203
(vii) 1+ 3 + 5 +… + 71
தீர்வு :
i) 1+2 + 3 +….. + 60
Σn = n(n+1)2 இங்கே n = 60
= 60(60+1)2
= 60×612
= 30 x 61
= 1830
So 1+2+3+ +60 = 1830
ii) 3 + 6 + 9 + ….. + 96
தீர்வு :
= 3(1 + 2 + 3 + … + 32)
= 3 x Σn
= 3 x n(n+1)2 இங்கே n = 32
= 3 x 32(32+1)2
= 3×32×332
32(32+1) = 3x 2 – 3x32x33
= 3 x 16 x 33
= 1584
3+6+9+12+…+96 = 1584
iii) 51 + 52 + 53 + ….. + 92
தீர்வு :
= (1 + 2 + 3 + … + 92) – (1 + 2 + 3 + ….. + 50)
= n(n+1)2−n(n+1)2
= 92×932−50×512
= 46 x 93 – 25 x 51
= 4278-1275
51 + 52 + 53 + …. + 92 = 3003
iv) 1 + 4 + 9 + 16 + … + 225
தீர்வு :
= 12 + 22 + 32 + 42+ ………….. +152
= n(n+1)(2n+1)6 இங்கே n = 15
= 15×16×316
= 1240
எனவே 1+4+9+16+… +225 = 1240
v) 62 + 72 + 82 + …………….. + 212
= (12 + 22 + 32 + ………. + 212) – (12 + 22 + 32 +… + 52)
= n(n+1)(2n+1)6−n(n+1)(2n+1)6
= 21×22×436−5×6×116
= 3311 – 55
= 3256
எனவே 62 + 72 + 82 + ……………..+212 = 3256
vi) 103 + 113 + 123 +.. +203
தீர்வு :
= (13 + 23 + 33 + ……………. + 203) –
(13 + 23 + 33+ …………..+93)
= [n(n+1)2]2−[n(n+1)2]2
= [20×216]2−[9×106]2
= (210)2 – (45)2
= 44100 – 2025
= 42075
எனவே 103 + 113 + 123 + ………… +203 = 42075
vii) 1+ 3 + 5 + ………….. + 71
இங்கு a = 1, d = 2, l = 71
= l−ad + 1
= 71−12 + 1
= 702 + 1
n = 36
1 + 3 + 5 +…+ 71 = n2 = 362 = 1296
கேள்வி 2.
1+2 + 3 +…..+k = 325, எனில்
13 + 23 + 33 +… + k3 யின் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு : :
1 + 2 + 3 + ………………+ k = 325
Σn = 325
n(n+1)2 = 325 —–(1)
13 + 23 + 33 + ……………..+ k3 = Σn3
= [n(n+1)2]2
= (325)2
= 105625 ((1)லிருந்து)
எனவே 13 + 23 + 33 + …………. + k3 = 105625
கேள்வி 3.
13 + 23 + 33 +…. + k3 = 44100 எனில் 1 + 2 + 3 +….+k யின் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு :
தரவு :-13 + 23 + 33 + ……………….+k3 = 44100
Σk3 = 44100
im 11
2 1+2 + 3 +…+ k = 210
கேள்வி 4.
13 + 23 + 33 +….. என்ற தொடரின் எத்தனை உறுப்புகளைக் கூட்டினால் கூடுதல் 14400 கிடைக்கும்?
தீர்வு :-
13 + 23 + 33 + ……………… +n3 = 44100
Σn3 = 14400
im 12
n2 + n – 240 = 0
(n + 16)(n – 15) = 0
n = -16 என்பது பொருந்தாது
n = 15
கேள்வி 5.
முதல் n இயல் எண்களின் கணங்களின் கூடுதல் 2025 எனில் n-யின் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு :
கணக்கின் படி Σn2 = 285
n(n+1)(2n+1)6 = 285 ——(1)
மேலும் Σn<sup3 = 2025
[n(n+1)2]2 = 2025
n(n+1)2 = 45
n(n+1) = 90——(2)
(2) ஐ (1) ல் பிரதியிட
90(2n+1)6 = 285
2n+1 = 285×690
2n+1 = 1990
2n = 18
n = 9
கேள்வி 6.
ரேகாவிடம் 10 செ.மீ, 11 செ.மீ , 12 செ.மீ…… 24 செ.மீ என்ற பக்க அளவுள்ள 15 சதுர வடிவ வண்ண க் காகிதங்கள் உள்ளன. இந்த வண்ணக் காகிதங்களைக் கொண்டு எவ்வளவு பரப்பை அடைத்து அலங்கரிக்க முடியும்?
தீர்வு :
தரவு:- 102 + 112 + 122 + …………. + 242 = (12 + 22 + 32 + …………. +242) –
(12 + 22 + 32 + …………….+92)
= n(n+1)(2n+1)6−n(n+1)(2n+1)6
= 24×25×496−9×10×196
= 4900 – 285
= 4615 ச.செ.மீ
கேள்வி 7.
(23 – 13) + (43 – 33)-(63 – 53) + …. என்ற
தொடர்வரிசையின் (i) n உறுப்புகள் வரை (i) 8 உறுப்புகள் வரை கூடுதல் காண்க.
தீர்வு :
தரவு:- (23 – 13) + (43 – 33)-(63 – 53) + …. n உறுப்புகள்
(i.e) Σ[(இரட்டைப்படை எண்)3
-(ஒற்றைப்படை எண்)3]
= Σ[(2n)3 – (2n – 1)3]
= Σ[8n3 (8n3-12n2 + 6n – 1)]
= Σ[8n3 – 8n3 + 12n2 – 6n + 1)]
= Σ[12n3 – 6n + 1]
= 12Σn2 – 6Σn + Σ1
= 12×n×(n+1)(2n+1)6−6n(n+1)2+n
= 2n(n+1)(2n+1) – 3n(n+1)+n
= 2n[2n2 + n + 2n + 1] – 3n2 – 3n + n
= 4n3 + 2n2 + 4n2 + 2n – 3n2 – 3n + n
= 4n3 + 3n2
ii) 8 உறுப்புகள் வரை கூடுதல் காண் n
உறுப்புகள் கூடுதல் = 4n3 + 3n2 8
உறுப்புகள் வரை கூடுதல் = 4(8)3 + 3(8)2
= 4 x 512 + 3 x 64
= 2048 + 192
= 2240
