இயற்கணிதம் Ex 3.13-10th Std Maths-Book Back Question And Answer
கேள்வி 1.
பின்வரும் இருபடிச் சமன்பாடுகளின் மூலங்களின் தன்மையைக் கூறுக.
i) 15x2 + 11x + 2 =
ii) x2 – x – 1 = 0
iii) √2t2 – 3t + 3√2= 0
iv) 9y2 – 6√2y + 2 = 0
v) 9a2b2x2 – 24abcdx + 16c2d2 = 0, a ≠ 0, b ≠ 0
தீர்வு :
i) 15x2 + 11x + 2 = 0
இங்கு a = 15, b = 11, c = 2
∆ = b2 – 4ac
= 112 – 4 x 15 x 2 = 121 – 120
= 1
∆ > 0 ∴ மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமல்ல.
ii) x2 – x – 1 = 0
இங்கு a = 1, b = -1, c = -1
∆ = b2 – 4ac
= (- 1)2 – 4 x 1 x (- 1)
= 1 + 4
= 5
∆ > 0 ∴ மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமல்ல.
iii) √2t2 – 3t + 3√2= 0
இங்கு a = √2, b = – 3, c = 3√2
∆= b2 – 4ac = (- 3)2 – 4 x √2 x 3√2
= 9 – 24
= – 15
∆ < 0
∴ மூலங்கள் மெய் மூலங்கள் இல்லை
iv) 9y2 – 6√2y + 2 = 0
இங்கு a = 9, b = – 6√2, c = 2
∆ = b2 – 4ac
= (- 6√2)2 – 4 x 9 x 2
= 72 – 72)
=0
∆ > 0
∴ மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்
v) 9a2b2x2 – 24abcdx + 16c2d2 = 0, a ≠ 0, b ≠ 0
இங்கு
a = 9a2b2,
b = – 24abcd,
c = 16c2d2
∆ = b2 – 4ac
= (- 24abcd)2 – 4 x 9a2b2 x 16c2d2
= 576a2b2c2d2 – 576a2b2c2d2
= 0
∴ மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்
கேள்வி 2.
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம் எனில், K
யின் மதிப்பைக் காண்க.
i) (5k – 6)x2 + 2kx + 1 = 0
ii) kx2 + (6k + 2)x + 16 = 0
தீர்வு :
i) (5k – 6)x2 + 2kx + 1 = 0
இங்கு a = 5k – 6, b = 2k, c = 1
கணக்கின் படி, மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்
∴ Δ =0
⇒ b2 – 4ac = 0
⇒ (2k)2 – 4 x (5k – 6) x 1 = 0
÷4 ⇒k2 – 20k x 24 = 0 +4
⇒ k2 – 5k + 6 = 0
(k – 2) (k – 3) = 0
∴ k = 2 (அ) 3
ii) kx2 + (6k + 2)x + 16 = 0
இங்கு a = k, b = 6k + 2, c = 16
கணக்கின் படி, மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்
Δ = 0
⇒ b2 – 4ac = 0
⇒ (6k + 2)2 – 4kx 16 = 0
⇒ 36k2 + 24k + 4 – 64k = 0
⇒ 36k2 – 40k + 4 = 0
⇒ 9k2 – 10k + 1 = 0
⇒ (k – 1) (9k – 1) = 0
k = 1 (அ) 1/9
கேள்வி 3.
(a – b) x2 + (b – c) x + (c – a) = 0 என்ற
சமன்பாட்டின் மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம் எனில் , b,a,c ஆகியவை ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசையை அமைக்கும் என நிறுவுக.
தீர்வு :
(a – b)x2 + (b-c) x + (c – a) = 0
இங்கு A = a – b, B = b – c, C = c – a
கணக்கின் படி மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்
Δ = 0
⇒ B2 – 4AC=0
⇒ (b- c)2 – 4(a – b) (c – a) = 0
⇒ b2 – 2bc + c2 – 4 [ac – a2 – bc + ab] =0
⇒ b2 – 2bc + c2 – 4ac + 4a2 + 4bc – 4ab = 0
⇒ 4a2 + b2 + c2 – 4ab + 2bc – 4ac = 0 =
(2a – b – c)2 = 0
⇒ 2a – b – c = 0
⇒ 2a = b + c
∴ b, a, c என்பது A.P ஆகும்.
கேள்வி 4.
a, மற்றும் b மெய் எண்க ள் எனில், (a – b) x2 – 6 (a + b)x – 9(a – b) = 0 – யின் மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமில்லை என நிரூபிக்கவும்.
தீர்வு :
இங்கு A = a – b, B = – 6(a + b), C = -9(a – b)
A = B2 – 4AC
= [- 6(a + b)]2 – 4(a – b) [- 9(a – b)]
= 36 (a + b)2 + 36 (a – b)2
= 36 [(a + b)2 + (a – b)2)
= 36 [2(a2 + b2)]
= 72 (a2 + b2)
(Δ > 0)
∴ மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமல்ல.
கேள்வி 5.
(c2 – ab)x2 – 2(a2 – bc)x + b2 – ac = 0 என்ற சமன்பாட்டில் மூலங்கள் சமம் மற்றும் மெய் எனில் a = 0 அல்லது a3 + b3 + c3 = 3abc என நிரூபி.
தீர்வு :
இங்கு A = c2 – ab, B = – 2(a2– bc), C = b2 – ac கணக்கின் படி, மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்
Δ = 0
⇒ B2 – 4AC =0
⇒ (-2 (a2 – bc)]2 – 4(c2 – ab) (b2 – ac) = 0
⇒ 4(a2 – bc)2 – 4 [b2c2 – ac3 – ab3 + a2bc] = 0
⇒ 4(a4 – 2a2bc + b2c2) – 4b2c2 + 4ac3 + 4ab3 – 4a2bc = 0
⇒ 4a4 – 8a2bc + 4b2c2 – 4b2c2 + 4ac3 + 4ab3 – 4a2bc = 0
⇒ 4a4 – 12a2bc + 4a3 + 4ab3 = 0
⇒ 4a (a3 – 3abc + c3 + b3) = 0
⇒ 4a = 0 (அ) a3 – 3abc + c3 + b3 = 0)
∴ a = 0 (84) a3 + b3 + c3 = 3abc
