ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.4--10th Std Maths-Book Back Question And Answer

ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.4--10th Std Maths-Book Back Question And Answer

கேள்வி 1.

பின்வரும் நேர்கோடுகளின் சாய்வைக் காண்க.

(i) 5y – 3 = 0,

(ii) 7x – 317 = 0

தீர்வு :

(i) 5y – 3 = 0,

(ii) 7x – 317 = 0

m = −70 = ∞ = வரையறுக்கப்படாதது.

கேள்வி 2.

(i) y = 0.7x – 11 க்கு இணையாக

(ii) x = -11 க்கு செங்குத்தாக அமையும் நேர்க்கோட்டின் சாய்வைக் காண்க.

தீர்வு :

கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடானது y = 0.7x – 11

⇒ 0.7x – y – 11 = 0

m = −0.7−1 = 0.7

இணை கோடுகளின் சாய்வு சமம் என்பதால் 0.7x-y-11 = (0 க்கு இணையாக உள்ள நேர்கோட்டின் சாய்வு 0.7

(ii) கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு x =-11

தீர்வு :

கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு x = -11

⇒ x + 0y + 11 = 0

m= −10 = வரையறுக்க முடியாது.

நேர்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இருந்தால் அதன் பெருக்கல் பலன் (-1) ஆகும்.

ஆனால், இங்கே சாய்வானது வரையறுக்க முடியாத நிலையில் உள்ளது.

கேள்வி 3.

கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடுகள் இணையானவையா அல்லது செங்குத்தானவையா எனச் சோதிக்கவும்.

(i) x3+y4+17 = 0 மறும் 2x3+y2+110=0

தீர்வு :

இங்கே இரு நேர்கோடுகளின் சாய்வுகள் சமமாக உள்ளது.m1 = m2 எனவே, இரு நேர்கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று இணையானது.

(ii) 5x +23y+14 = 0 மற்றும் 23x -5y +9 = 0

தீர்வு :

கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு 5x + 23y + 14 = 0

m1 = −523

கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு 23x – 5y + 9 = 0

m2 = −23−5=235

இங்கே இரண்டு நேர்கோடுகளும் m1 x m2 = -1

m1 x m2 = −523×235 = =-1 என்பதை நிரூபிக்கிறது. எனவே இரண்டு நேர்கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குதாக உள்ளது.

கேள்வி 4.

12y = -(p + 3)x +12, 12x -7y = 16 ஆகிய நேர்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து எனில் ‘p’ ன் மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு :

கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு 12y = -(p + 3)x + 12

12y = -(p + 3)x + 12

(p + 2)x + 12y – 12 = 0

m1 = −(p+3)12

கொடுக்கப்பட்ட மற்றொரு நேர்கோடு 12x – 7y = 16

12x – 7y – 16 = 0

m2 = −127=127

இரண்டு நேர்கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து எனில் m1 x m2 = -1 −(p+3)12×127 = -1

-(p + 3) = -7

p + 3 = 7

p = 7 – 3 = 4

p = 4

கேள்வி 5.

Q(3, 2) மற்றும் R(-5, 4) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோட்டிற்கு இணையானதும், P(-5,2) என்ற புள்ளி வழி செல்வதுமான நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

தீர்வு :

Q(3, -2), R(-5, 4)

ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாக கொண்ட நேர்கோட்டின் சமன்பாடு

y+24+2=x−3−5−3

y+26=x−3−8

-8(y + 2) = (x – 3)6

-8y – 16 = 6x – 18

8y + 16 – 6x – 18 = 0

6x + 8y – 2 = 0

÷by 2 ⇒ = 3x+4y-1 = 0 —–(1)

தேவையான நேர்கோடானது சமன்பாடு (1)க்கு இணையாக உள்ளது. எனவே, தேவையான சமன்பாடு 3x + 4y + k = 0 —–(2)

(-5, 12) புள்ளி வழி செல்கிறது.

3(-5) + 4(2) + k = 0

-15 + 8 + k = 0

-7 + k = 0

k = 7

தேவையான நேர்கோடானது 3x + 4y + 7 = 0

கேள்வி 6.

(6,7) மற்றும் (2,-3) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோட்டிற்குச் செங்குத்தானதும் (6,-2) என்ற புள்ளி வழி செல்வதுமான நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

தீர்வு :

(6,7) மற்றும் (2,-3) ஆகியவற்றை முனைகளாக கொண்ட நேர்கோட்டின் சமன்பாடு,

y−7−3−7=x−62−6

y−7−10=x−6−4

-4(y – 7) = -10(x – 6)

-4y + 28 = -10x + 60

10x – 60 – 4y + 28 = 0

10x – 4y – 32 = 0

÷ by 2 ⇒ 5 – 2y – 16 = 0 —–(1)

தேவையான நேர்கோடானது சமன்பாடு (1) தேவையான நேர்கோட்டின் சமன்பாடு

2x + 5y + k = 0

(6, 2) என்ற புள்ளி வழி செல்கிறது

2(6) + 3(-2) + k = 0

12 – 10 + k = 0

2 + k = 0

k = -2

தேவையான நேர்கோட்டு சமன்பாடு

2x + 5y – 2 = 0

கேள்வி 7.

ΔABC யின் முனைகள் A(-3, 0), B(10,-2) மற்றும் C(12, 3) எனில், A மற்றும் B யிலிருந்து முக்கோணத்தின் எதிர்பக்கத்திற்கு வரையப்படும் குத்துக்கோட்டின் சமன்பாடுகளைக் காண்க

தீர்வு :

படத்தின் AD மற்றும் BE ஆனது குத்துகோடுகள் ஆகும்.

A(-3, 0), B(10, -2) மற்றும் C(12, 3)

i) BC சாய்வு m1 = 3+212−10=52

m1 = 52

இங்கே BC ⊥r AD செங்குத்தாக உள்ளது.

m1 x m2 = -1

−25 x m2 = -1

இங்கே சாய்வு மற்றும் புள்ளி A(-3, 0) ஆகியவற்றைக் கொண்ட நேர்கோட்டின் சமன்பாடு

y – y1 = m (x – x1)

y – 0 =  (x + 3)

5y = -2x – 6

2x + 6 + 5y = 0

2x + 5y + 6 = 0

ii) ACன் சாய்வு m1 = 3−012+3=315=15

AC ⊥r BE க்கு செங்குத்தாக உள்ளது. எனில்,

m1 x m2 = -1

15 x m2 = -1

m2 = -5

சாய்வு – 5 மற்றும் புள்ளி B(10,-2) நேர்கோட்டின் சமன்பாடு

y – y1 = m (x-x1)

y + 2 = -5(x – 10)

y + 2 = -5x + 50

5x + y + 2 – 50 = 0

5x + y – 48 = 0

தேவையான குத்துகோடுகள் 2x+5y+6 = 0 5x+y-48 = 0

கேள்வி 8.

A(-4,2) மற்றும் B(6-4) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் மையக் குத்துகோட்டின் சமன்பாடு காண்க.

தீர்வு :

மையக்குத்துக் கோடானது கோட்டுத்துண்டு மையப்பகுதி வழியாகவே செல்லும்.

D என்பது மையப்புள்ளி ஆகும்.

AB ன் மையப்புள்ளி

(−4+62,2−42)=(22,−22) = (1,-1)

D(1, -1)

AB ன் சமன்பாடு

y−2−4−2=x+46+4

y−2−6=x+410

10(y – 2) = -6(x + 4)

10y – 20 = – 6x – 24

6x + 10y – 20 + 24 = 0

6x + 10y + 4 = 0

÷ by 2 = 3x+5y+2 = 0 —–(1)

தேவையான நேர்கோடானது சமன்பாடு (1) க்கு செங்குத்தாக உள்ளது. எனவே தேவையான நேர்கோட்டு சமன்பாடு 5x – 3y + k = 0

D(1, -1) புள்ளி வழிச் செல்கிறது

5(1) – 3(-1) + k = 0

5 + 3 + k = 0

k = -8

தேவையான மைய நேர்கோட்டின் சமன்பாடு 5x – 3y – 8 = 0

கேள்வி 9.

7x+3y=10,5x-4y=1 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி வழியாகவும், 13x + 5y +12 = 0 என்ற நேர்கோட்டிற்கு இணையாகவும் அமையும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

தீர்வு :

கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு நோகோடுகள்

7x + 3y = 10 ——(1)

5x – 4y = 1 ——(2)

(1) மற்றும் (2) ஐ தீர்க்க

x = 1

x = 1 ஐ சமன்பாடு (1)ல் பிரதியிட

7x + 3y = 10

7(1) + 3y = 10

3y = 10 – 7

3y = 3

y = 1

இரு நேர்கோடுகளும் வெட்டிக்கொள்ளும் (1, 1)

தேவையான நேர்கோடானது 13x + 5y + 12 = 0

விற்கு இணையாக உள்ளது எனவே.

தேவையான நேர்கோடானது

13x + 5y + k = 0

(1, 1) என்ற புள்ளி வழிச் செல்கிறது.

13(1) + 5(1) + k = 0

13 + 5 + k = 10

18 + k = 0

k = -18

தேவையான நேர்கோட்டுச் சமன்பாடு

13x + 5y – 18 = 0

கேள்வி 10.

5x-6y=2,3x+2y=10 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி வழியாகவும் 4x – 7y + 13 = 0 என்ற நேர்கோட்டிற்குச் செங்குத்தாகவும் அமையும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

தீர்வு :

கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு நேர்கோடுகள்

5x – 6y = 2 ——(1)

3x + 2y = 10 ——(2)

(1) மற்றும் (2) ஐ தீர்க்க

x = 167 ஐ சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட

5x – 6y = 2

5(167) – 6y = 2

807 – 6y = 2

807 – 2 = 6y

80−147×6 = y

667×6 = y

y = 117

இரு கோடுகளும் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி

(1) & (2) is ( 167,117 )

தேவையான நேர்கோடானது 4x – 7y + 13 = 0

விற்கு செங்குத்தாக உள்ளது.

தேவையான நேர்கோடானது 7x + 4y + k = 0

( 167,117 ) புள்ளி வழிச் செல்கிறது.

7x + 4y + k = 0

தேவையான நேர்கோடானது 13x + 5y – 18 = 0

7x + 4y – 1567 = 0

49x+28y−1567 = 0

49x + 28y – 156 = 0

கேள்வி 11.

7x -3y = -12 மற்றும் 2y = x + 3 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியையும், 3x +y +2 = 0 மற்றும் x -2y -4 = 0 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியையும் இணைக்கும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

தீர்வு :

கொடுக்கப்பட்ட முதல் இரண்டு நேர்கோடுகள்

3x + y + 2 = 0 ——(1)

x – 2y – 4 = 0 ——(2)

(1) மற்றும் (2) ஐ தீர்க்க

x = 0

x = 0 ஐ சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட

3x + y + 2 = 0

0 + y + 2 = 0

y = -2

இரு நேர்கோடுகளும் வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளி (0, -2)

மற்றொரு இரண்டு நேர்கோடுகள்

7x – 3y = -12 ⇒ 7x-3y+12 = 0 —-(3)

2y = x + 3 ⇒ x – 2y + 3 = 0 —-(4)

(3) மற்றும் (4) ஐ தீர்க்க

11y – 9 =0

11y = 9

y = 9/11

இரு கோடுகளும் வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளி ( −1511,911 )

இரண்டு வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளிகளையும் முனைகளாக கொண்ட நேர்கோட்டுச் சமன்பாடு

15 x 11(y + 2) = -31 x 11x

165(y + 2) = -341x

165y + 330 = -3418

341x +165y 330 = 0

÷by 11 ⇒ 31x – 15y + 30 = 0

தேவையான நேர்கோட்டு சமன்பாடு 31x – 15y + 30 = 0

கேள்வி 12.

8x + 3y = 18, 4x + 5y = 9 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியின் வழியாகவும், (5,-4) மற்றும் (-7, 6) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோட்டுத் துண்டின் நடுப்புள்ளி வழியாகச் செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடுகள்

8x + 3y = 18 ——(1)

4x + 5y = 9 ——(2)

(1) மற்றும் (2)

y = 0 ஐ சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட

8x + 3y = 18

8x + 0 = 18

x = 18/8

x = 9/4

வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ள (9/4, 0)

(5, -4), (-7, 6) ஆகியவற்றை முனைகளாக கொண்ட நேர்கோட்டின் மையப்புள்ளி

-13y = -4x – 9

4x + 13y – 9 = 10

தேவையான நேர்கோட்டின் சமன்பாடு 4x + 13y – 9 = 0